[CF] D. Turtle Tenacity: Continual Mods - Codeforces Round 929 (Div. 3)

Solutions Codeforces 数论整除 1200 Med-

Lastmod: 2025-01-25 周六 00:24:47

https://codeforces.com/contest/1933/problem/D

题目大意

给出 $n \ (2 \le n \le 10^5)$ 长的数组 $a$ 其中 $1 \le a_i \le 10^9$ 。

问是否存在某种排列使得 $a_1 \mod a_2 \mod a_3 \cdots \mod a_n \neq 0$ 。

简要题解

假设 $m = \min(a)$

容易想到 $x < y$ 时 $x \mod y = x$ ，则如果数组中的最小数 $m$ 唯一，那么我们按顺序排序即可，最后结果就是 $m$ 。

最小数不唯一时，我们需要能够创造出一个更小的数，于是我们就找不是 $m$ 倍数的数，则这个余数 $r < m$ ，我们把这一组放在开头，剩下的放在后面即可。

如果我们找不到这样的数，即所有数都是 $x$ 的倍数，则在遇到第二个 $x$ 之前要么值为 $x$ 要么值为 $0$ ，通过第二个 $x$ 后结果为 $0$ 。而我们知道，一旦一个位置的结果为 $0$ ，后续都会为 $0$ ，也就是说不存在方案可以构造。

复杂度

$T$ ： $O(n \log n)$ ： $\log$ 来自排序，当然也可以不排省掉这个 $\log$

$S$ ： $O(n)$

代码实现

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int io_=[](){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); return 0; }();
 
using LL = long long;
using ULL = unsigned long long;
using LD = long double;
using PII = pair<int, int>;
using VI = vector<int>;
using MII = map<int, int>;
 
template<typename T> void cmin(T &x,const T &y) { if(y<x) x=y; }
template<typename T> void cmax(T &x,const T &y) { if(x<y) x=y; }
template<typename T> bool ckmin(T &x,const T &y) { 
    return y<x ? (x=y, true) : false; }
template<typename T> bool ckmax(T &x,const T &y) { 
    return x<y ? (x=y, true) : false; }
template<typename T> void cmin(T &x,T &y,const T &z) {// x<=y<=z 
    if(z<x) { y=x; x=z; } else if(z<y) y=z; }
template<typename T> void cmax(T &x,T &y,const T &z) {// x>=y>=z
    if(x<z) { y=x; x=z; } else if(y<z) y=z; }
 
// mt19937 rnd(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
// mt19937_64 rnd_64(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
/*
---------1---------2---------3---------4---------5---------6---------7---------
1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
*/
 
void solve() {
  int n; cin >> n;
  vector<int> a(n);
  for (int& i : a) cin >> i;
  
  sort(a.begin(), a.end());
 
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    if (a[i] % a[0]) {
      cout << "YES\n";
      return;
    }
  }
 
  if (a[1] != a[0]) {
    cout << "YES\n";
    return;
  }
  
  cout << "NO\n";
}
 
int main() {
  int t = 1; 
  cin >> t;
  while (t--) {
    solve();
  }
  return 0;
}

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Gitalking ...

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;

	int io_=[](){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); return 0; }();

	using LL = long long;
	using ULL = unsigned long long;
	using LD = long double;
	using PII = pair<int, int>;
	using VI = vector<int>;
	using MII = map<int, int>;

	template<typename T> void cmin(T &x,const T &y) { if(y<x) x=y; }
	template<typename T> void cmax(T &x,const T &y) { if(x<y) x=y; }
	template<typename T> bool ckmin(T &x,const T &y) {
	return y<x ? (x=y, true) : false; }
	template<typename T> bool ckmax(T &x,const T &y) {
	return x<y ? (x=y, true) : false; }
	template<typename T> void cmin(T &x,T &y,const T &z) {// x<=y<=z
	if(z<x) { y=x; x=z; } else if(z<y) y=z; }
	template<typename T> void cmax(T &x,T &y,const T &z) {// x>=y>=z
	if(x<z) { y=x; x=z; } else if(y<z) y=z; }

	// mt19937 rnd(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
	// mt19937_64 rnd_64(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());

	/*
	---------1---------2---------3---------4---------5---------6---------7---------
	1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
	*/

	void solve() {
	int n; cin >> n;
	vector<int> a(n);
	for (int& i : a) cin >> i;

	sort(a.begin(), a.end());

	for (int i = 1; i < n; i++) {
	if (a[i] % a[0]) {
	cout << "YES\n";
	return;
	}
	}

	if (a[1] != a[0]) {
	cout << "YES\n";
	return;
	}

	cout << "NO\n";
	}

	int main() {
	int t = 1;
	cin >> t;
	while (t--) {
	solve();
	}
	return 0;
	}