[CF] C. Kevin and Puzzle - IAEPC Preliminary Contest (Codeforces Round 999, Div. 1 + Div. 2)
Solutions Codeforces 动态规划 Med-
Lastmod: 2025-01-20 周一 23:12:56

https://codeforces.com/contest/2061/problem/C

题目大意

给出 n (1≤n≤2×105) 个人。每个人可以说谎或诚实。诚实的人总说真话，说谎的人可以说真话或者假话。任意两个说谎的人不相邻。每个人 i 做出了如下论断：i 左侧有 ai (0≤ai≤n) 个人说谎。问最多有多少种可能的说谎诚实的组合。结果模 998244353。

简要题解

观察：

  1. 如果 ai>i 则这个人只能说谎。因为左侧没有足够的人。
  2. 因为相邻的两个人不能说谎，因此 i−1 或者 i−2 必然是诚实的。

有了这两个观察我们就可以转移了。

设 dph[i] 和 dpl[i] 分别为第 i 个人诚实和说谎的方案数。

i=0 和 i=1 可以特殊处理。

对于其他的 i。如果 i 位置说谎则 i−1 位置必然为诚实，也就是 dpl[i]=dph[i−1]。

如果 a[i]≤i 则：

  1. i−1 为诚实，则 i 与 i−1 左侧说谎的人数要一致即 a[i]=a[i−1]：dph[i]←dph[i−1]。
  2. i−1 说谎，则 i−2 诚实，此时 i 比 i−2 多一个说谎的人，即 a[i]=a[i−2]+1：dph[i]←dph[i−2]。

最终答案就是 dph[n−1]+dpl[n−1]。

（虽然只是个 C 题，但是感觉真没那么简单）

复杂度

T：O(n)

S：O(n)

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int io_=[](){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); return 0; }();
 
using LL = long long;
using ULL = unsigned long long;
using LD = long double;
using PII = pair<int, int>;
using VI = vector<int>;
using MII = map<int, int>;
 
template<typename T> void cmin(T &x,const T &y) { if(y<x) x=y; }
template<typename T> void cmax(T &x,const T &y) { if(x<y) x=y; }
template<typename T> bool ckmin(T &x,const T &y) { 
    return y<x ? (x=y, true) : false; }
template<typename T> bool ckmax(T &x,const T &y) { 
    return x<y ? (x=y, true) : false; }
template<typename T> void cmin(T &x,T &y,const T &z) {// x<=y<=z 
    if(z<x) { y=x; x=z; } else if(z<y) y=z; }
template<typename T> void cmax(T &x,T &y,const T &z) {// x>=y>=z
    if(x<z) { y=x; x=z; } else if(y<z) y=z; }
 
// mt19937 rnd(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
// mt19937_64 rnd_64(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
template<long long Mo=998244353> struct ModInt {
  static long long MO;
  static void setMo(long long mo) { MO = mo; }
  long long x;
  ModInt(long long x=0) : x(x){ norm(); }
  friend istream &operator>>(istream& in, ModInt &B) { in>>B.x; return in; }
  friend ostream &operator<<(ostream& out, const ModInt &B) { 
    out<<B.x; return out; }
  // ModInt operator=(int x_) { x=x_; norm(); return *this; }
  void norm() { x = (x%MO + MO) % MO; }
  long long get() { return x; }
 
  ModInt operator-() const { return ModInt(MO - x); }
  ModInt operator+=(const ModInt &B) { x+=B.x; if(x>=MO) x-=MO; return *this; }
  ModInt operator-=(const ModInt &B) { x-=B.x; if(x<0) x+=MO; return *this; }
  ModInt operator*=(const ModInt &B) { x=x*B.x%MO; return *this; }
  ModInt operator+(const ModInt &B) const { ModInt ans=*this; return ans+=B; }
  ModInt operator-(const ModInt &B) const { ModInt ans=*this; return ans-=B; }
  ModInt operator*(const ModInt &B) const { ModInt ans=*this; return ans*=B; }
  ModInt operator^(long long n) const  {
    ModInt a=*this; ModInt ans(1);
    while(n) { if(n&1) ans*=a; a*=a; n>>=1; }
    return ans;
  }
  ModInt inv() const { return (*this)^(MO-2); } // if MO is prime
  ModInt operator/=(const ModInt &B) { (*this)*=B.inv(); return *this; }
  ModInt operator/(const ModInt &B) const { ModInt ans=*this; return ans/=B; }
 
  bool operator<(const ModInt &B) const { return x<B.x; }
  bool operator==(const ModInt &B) const { return x==B.x; }
  bool operator!=(const ModInt &B) const { return x!=B.x; }
};
template<long long Mo> long long ModInt<Mo>::MO = Mo;
typedef ModInt<998244353> Mint;
// typedef ModInt<1'000'000'007> Mint;
/*
---------1---------2---------3---------4---------5---------6---------7---------
1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
*/
 
 
void solve() {
  int n; cin >> n;
  vector<int> a(n);
  for (int& i : a) cin >> i;
 
  vector<Mint> dph(n);
  vector<Mint> dpl(n);
 
  if (a[0]) {
    dpl[0] = 1;
  } else {
    dpl[0] = dph[0] = 1;
  }
 
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    if (a[i] > i) { // only can be liar
      dpl[i] = dph[i - 1];
    } else {
      // liar
      dpl[i] = dph[i - 1];
 
      // honest
      if (i == 1) {
        if (a[i]) {
          dph[i] = 1;
        } else {
          dph[i] = dph[i - 1];
        }
      } else {
        if (a[i] == a[i - 1]) {
          dph[i] += dph[i - 1];
        }
        if (a[i] == a[i - 2] + 1) {
          dph[i] += dph[i - 2];
        }
      }
    }
  }
 
  Mint ans = dpl[n - 1] + dph[n - 1];
  cout << ans << '\n';
}
 
int main() {
  int t = 1; 
  cin >> t;
  while (t--) {
    solve();
  }
  return 0;
}
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